【同步讲练】
与正方形有关的四个常考模型
模型 1 1
正方形中相交垂线段问题 —— 教材 1 P21 例 例 1 1 的变式与应用
【教材母题变式】(教材北师 9 上 P21 例 1 变式)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别在 BC，CD 上，BE＝CF.AE 与 BF之间有怎样的关系？请说明理由. 解：AE＝BF 且 AE⊥BF. 理由：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠C. 又∵BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF(SAS). ∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF. 又∵∠BAE＋∠AEB＝90°， ∴∠CBF＋∠AEB＝90°. ∴∠BOE＝90°. ∴AE⊥BF. 【变式】
如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，AE，BF 交于点 O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°. ∵∠AOB＝180°－∠AOF＝90°， ∴∠BAE＋∠OBA＝90°.
又∵∠ABE＝∠CBF＋∠OBA＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF. 在△ABE 和△BCF 中， ∠ABE＝∠BCF，AB＝BC，∠BAE＝∠CBF， ∴△ABE≌△BCF(ASA). ∴BE＝CF.
正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图 1 中的线段 AF 与 BE，图 2 中的线段 AF 与 EG，图 3 中的线段 HF 与 EG)满足：若垂直，则相等.
模型 2 2
正方形中过对角线交点的直角问题 —— 教 材 北师 9 9 上 上 5 P25 习题 4 T4 的变式与应用
【教材母题变式】(教材 P25 习题 T4 变式)如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，O 又是正方形 A 1 B 1 C 1 O的一个顶点，OA 1 交 AB 于点 E，OC 1 交 BC 于点 F. (1)求证：△AOE≌△BOF； (2)如果两个正方形的边长都为 a，那么正方形 A 1 B 1 C 1 O 绕 O 点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？
解：(1)证明：在正方形 ABCD 中，AO＝BO，∠AOB＝∠A 1 OC 1 ＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°. ∴∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°. ∴∠AOE＝∠BOF.
在△AOE 和△BOF 中， ∠OAE＝∠OBF，OA＝OB，∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF(ASA). (2)两个正方形重叠部分的面积等于 14 a2 .理由如下：
∵△AOE≌△BOF， ∴S 四边形 OEBF ＝S △ EOB ＋S △ BOF ＝S △ EOB ＋S △ AOE ＝S △ AOB ＝ 14 S正方形 ABCD ＝ 14 a2 .
【变式】
如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 O 是 AB 的中点，且 AC＝1，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与 AC，BC 相交，交点分别为 D，E，则两个三角形重叠部分的面积为 14 .
①△ABC 是等腰直角三角形，O 为斜边 AB 的中点.连接 OC，则△DOC≌△EOB，△ADO≌△CEO.
②在正方形 ABCD 中，O 为对角线的交点，直角∠EOF 绕点 O 旋转，若 OE，OF 分别与 DA，AB 延长线交于点 G，H，则△AGO≌△BHO，△OGH 是等腰直角三角形.
(温馨提示：可尝试应用模型做一做活页卷 P4T15)
模型 3 3
正方形中的 “ 外角平分线 ” 模型
3 3.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 上任意一点，∠AEF＝90°，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F.求
证：AE＝EF.
证明：在 AB 上截取 BM＝BE，连接 ME. ∵∠B＝90°， ∴∠BME＝∠BEM＝45°. ∴∠AME＝∠ECF＝135°. ∵∠AEF＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°， ∠AEB＋∠MAE＝90°， ∴∠MAE＝∠FEC. ∵AB＝BC，BM＝BE， ∴AM＝EC. 在△AME 和△ECF 中， ∠MAE＝∠CEF，AM＝EC，∠AME＝∠ECF， ∴△AME≌△ECF(ASA). ∴AE＝EF. 【变式】
在上题的前提下，若题中结论“AE＝EF”与条件“CF 是正方形外角的平分线”互换，则命题是否还成立？请给出证明. 解：命题仍然成立.证明：
过点 F 作 FH⊥BC，交 BC 的延长线于点 H， ∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEH＝90°. ∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＋∠BAE＝90°. ∴∠BAE＝∠HEF. 在△ABE 和△EHF 中，
∠BAE＝∠HEF，∠ABE＝∠EHF，AE＝EF， ∴△ABE≌△EHF(AAS). ∴BE＝HF，AB＝EH＝BC. ∴BC－EC＝EH－EC，即 BE＝CH. ∴HF＝CH. ∴∠HCF＝∠HFC＝45°，∠DCF＝45°. ∴CF 是正方形外角的平分线.
模型 4 4
正方形中的半角模型
4 4.如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF＝BE. (1)求证：CE＝CF； (2)若点 G 在 AD 上，且∠GCE＝45°，则 GE＝BE＋GD 成立吗？为什么？
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC＝CD，∠B＝∠CDF. 又∵BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF(SAS). ∴CE＝CF. (2)GE＝BE＋GD 成立. 理由：由(1)得，△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF. ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，
即∠BCD＝∠ECF＝90°. 又∵∠GCE＝45°， ∴∠GCF＝∠GCE＝45°. ∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG(SAS). ∴GE＝GF. ∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD. 【变式】
如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为边 BC，CD 上一点，且∠EAF＝45°，AE，AF 分别交对角线 BD 于点 M，N.求证：MN2 ＝BM 2 ＋DN 2 .
解：过点 A 作 GA⊥AN，使 GA＝NA，连接 GB，GM. ∵∠GAB＋∠BAF＝90°，∠DAN＋∠BAF＝90°， ∴∠GAB＝∠DAN. 在△GAB 和△NAD 中， GA＝NA，∠GAB＝∠DAN，BA＝DA， ∴△GAB≌△NAD(SAS). ∴∠ABG＝∠ADN＝45°，BG＝DN. ∴∠GBM＝90°. ∵∠EAF＝45°，∠GAN＝90°， ∴∠GAM＝45°. 在△GAM 和△NAM 中，
GA＝NA，∠GAM＝∠NAM，AM＝AM， ∴△GAM≌△NAM(SAS). ∴GM＝MN. 在 Rt△GBM 中，GM2 ＝GB 2 ＋BM 2 ， ∴MN2 ＝BM 2 ＋DN 2 .
(1)如图 1，在正方形 ABCD 中，若∠EAF＝45°，则：
①EF＝BE＋DF；②△CEF 的周长为正方形 ABCD 边长的 2 倍；③FA 平分∠DFE，EA 平分∠BEF；④MN2 ＝BM 2 ＋DN 2 .
图 1
图 2 (2)如图 2，在正方形 ABCD 中，若∠EAF＝45°，FA 平分∠DFE，则 EF＝DF－BE.
