三都高级中学 2019 届数学压轴题解答策略-导数的应用（二）
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【2018 全国Ⅱ卷第 21 题】（12 分）
21.已知函数2( )xf x e ax . (1) 若 1 a ，证明：当 0 x 时， ( ) 1 f x ； (2)若 ( ) f x 在 0 + （ ， ）
只有一个零点，求 a . （1）
证法一：当1 a 时，2( )xf x e x ，定义域x R
( ) 2xf x e x
构造函数：( ) 2xg x e x
定义域x R
( ) 2xg x e ，令( ) 0 g x 知=2xe ，即ln2 x x ( ,ln2) ln2
(ln2 + ) ， ( ) g x - 0 + ( ) g x
极小值
ln2min( ) (ln2) 2ln2 2 2ln2 2(1 ln2) 0 g x g e 即( ) 0 f x ，故( ) f x在x R 上单调递增 又(0) 1 f ，故当0 x 时，( ) 1 f x 。
证法二：当 0 x 时， ( ) 1 f x 21 0xe x 211- 0**e 构造函数：21( ) 1-**g xe 定义域x R
2 2 222 ( 1) 2 1 ( -1( )( )x ** x ** e x e x x xg xe e e ）
1 x ( ) 0 g x 故函数( ) g x在 R 上单调递增. 又(0) 0 g
当0 x 时，( ) 0 g x 即21 0xe x ，所以( ) 1 f x 。
证法三：当 0 x 时， ( ) 1 f x 21 0xe x
21 01xex 构造函数2( ) 11xeg ** 定义域x R 2 22 2 2 2( 1) 2 ( 1)( )( 1) ( 1)x x xe x x e e xg ** x 所以( ) 0 g x 当且仅当1 x时，( )=0 g x 故函数( ) g x在 R 上单调递增. 又(0) 0 g
当0 x 时，( ) 0 g x 即21 0xe x ，所以( ) 1 f x
（2）解法一：2( )xf x e ax 定义域x R 构造函数：2( ) 1xaxh xe 定义域x R ( ) f x 在 0 + （ ， ）
只有一个零点 ( ) h x 在 0 + （ ， ）
只有一个零点
（ⅰ）当0 a 时，( ) 0 h x ，( ) h x没有零点， （ⅱ）当0 a 时，222 ( 2)( )=-( )x ** xax e ax e ax xh xe e
令( ) 0 h x 知
0 x 或2 x x ( ,0) 0 (0,2)
2 (2, ) ( ) h x + 0 - 0 + ( ) h x
极大值
极小值
当(0, ) x 时，min24( ) (2) 1ah x he
①若(2) 0 h ，即24ea 时，( ) h x在0 + （ ， ）没有零点；
②若(2) 0 h ，即24ea 时，( ) h x在0 + （ ， ）有两个零点；
③若(2)=0 h， 即2=4ea时，( ) h x在0 + （ ， ）只有一个有零点。
综上：( ) f x 在 0 + （ ， ）
只有一个零点时，2=4ea
解法二：2( )xf x e ax 定义域x R
构造函数：2( )xeh x ax 定义域x R ( ) f x 在 0 + （ ， ）
只有一个零点 ( ) h x 在 0 + （ ， ）
只有一个零点
（ⅰ）当0 a 时，( ) 0 h x ，( ) h x没有零点； （ⅱ）当0 a 时，24 32 ( 2)( )x x xe x e x e xh ** x 令( ) 0 h x 知
2 x x ( ,0) (0,2)
2 (2, ) ( ) h x - - 0 + ( ) h x
极小值
当(0, ) x 时，2min( ) (2)4eh x h a ①若(2) 0 h ，即24ea 时，( ) h x在0 + （ ， ）没有零点；
②若(2) 0 h ，即24ea 时，( ) h x在0 + （ ， ）有两个零点；
③若(2)=0 h， 即2=4ea时，( ) h x在0 + （ ， ）只有一个有零点。
综上：( ) f x 在 0 + （ ， ）
只有一个零点时，2=4ea。
解法三：通过几何直观可知
( ) f x 在 0 + （ ， ）
只有一个零点 曲线xy e 与2y ax 只有一个 公共点 由分析知：
①假设零点是0x，则有0( ) 0 f x
②在点0x x 处，1 2k k ， 001** xk y e
02 02x xk y ax 从而有 0020002**e axe ax
0224xea 所以( ) f x 在 0 + （ ， ）
只有一个零点时，2=4ea。
练习题：【2016 全国Ⅰ卷理科第 21 题】
已知函数2( ) ( 2) ( 1)xf x x e a x 有两个零点. (Ⅰ) 求a的取值范围； （Ⅱ）设1, 2x x是( ) f x的两个零点，证明：1 2+ 2 x x
