统计与概率
一、
1、（ 2016
年北京高考）袋中装有偶数个球，其中 球、黑球各占一半
. 甲、乙、丙是三个空
盒 . 每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果 个球是 球，就将另一个球
放入乙盒，否 就放入丙盒
. 重复上述 程，直到袋中所有球都被放入盒中， （
）
A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B. 乙盒中 球与丙盒中黑球一 多
C. 乙盒中 球不多于丙盒中 球
D. 乙盒中黑球与丙盒中 球一 多
【答案】
C
2、（ 2016 年山 高考）某高校 了 200 名学生每周的自 （ 位：小 ），制成了如
所示的 率分布直方 ，其中自 的范 是
[17.5,30]
， 本数据分
[17.5,20),[20,22.5),[22.5,
25),[25,27.5),[27.5,30] . 根据直方 ，
200 名学生中每周的自
不少于
22.5 小 的人数是
（A） 56 （ B） 60 （ C） 120 （ D） 140
【答案】 D
3、（ 2016 年全国
I 高考）某公司的班 在
7:30 ， 8:00 ， 8:30
，小明在
7:50
至
8:30
之
到达 站乘坐班 ，且到达 站的 刻是随机的， 他等 不超
10 分
的概率是
1
1
2
3
（ A）
（ B）
（C）
（D）
3
2
3
4
【答案】
B
4、（ 2016 年全国
II
高考）从区
0,1
随机抽取
2n 个数
x1 ,
x2 ，?，
xn ， y1 ， y2 ，?， yn ，
构成
n 个数
x1, y1
， x2 , y2
，?，
xn , yn
，其中两数的平方和小于
1 的数 共有
m 个，
用随机模 的方法得到的 周率
的近似
（A） 4n （ B） 2n （ C） 4m （ D） 2m
m m n n
【答案】 C
5、（ 2016 年全国 III 高考）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均
最高气温和平均最低气温的雷达图。 图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C，B 点表
示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是
(A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大
(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个
【答案】 D
二、填空题
1 、 （ 2016 年 山 东 高 考 ） 在 [－1,1] 上 随 机 的 取 一 个 数 k ， 则 事 件 “ 直 线 y = kx 与 圆
(x－5)2 + y2 = 9 相交”发生的概率为
3
【答案】 ．
4
2、（ 2016 年上海高考）某次体检， 6 位同学的身高（单位：米）分别为
1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77 则这组数据的中位数是 _________（米）
【答案】 1.76
3、（ 2016 年四川高考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说
这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 .
【答案】
3
2
三、解答题
1、（ 2016 年北京高考） A 、 B、 C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通
过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
A 班
6
6.5
7
7.5
8
B 班
6
7
8
9
10
11 12
C 班
3
4.5
6
7.5
9
10.5 12 13.5
（ 1）试估计 C 班的学生人数；
（ 2）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，
A 班选出的人记为甲，
C 班选出的人记
为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（ 3）再从 A、 B、 C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是
7， 9， 8.25
（单位：小时），这
3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记
1
，表格中数据的
平均数记为
0 ，试判断
0
和
1 的大小，（结论不要求证明）
解析】⑴
8
100 40，C班学生 40 人
20
⑵在 A 班中取到每个人的概率相同均为
1
5
设 A 班中取到第 i 个人事件为 Ai
, i 1,2,3,4,5
C 班中取到第
j
个人事件为 C j
, j
1,2,3,4,5,6,7,8
A 班中取到 Ai
C j
的概率为 Pi
所求事件为 D
则 P(D)
1
1
1
P3
1
P4
1
P1
P2
5
5
P5
5
5
5
1
2
1
3
1
3
1
3
1
4
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
3
8
⑶ 1
0
三组平均数分别为 7 , 9 , 8.25 , 总均值 0
8.2
但
1 中多加的三个数据
7 , 9 , 8.25 , 平均值为 8.08 ，比 0
小，
故拉低了平均值
2、（ 2016 年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一
个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人猜对，则“星
队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分．已知甲每轮猜对的概率是 3 ，乙每轮
4
猜对的概率是 2；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”
3
参加两轮活动，求：
( Ⅰ )
“星队”至少猜对
3 个成语的概率；
( Ⅱ )
“星队”两轮得分之和
X 的分布列和数学期望
EX ．
【解析】 ( Ⅰ ) “至少猜对
3 个成语”包括“恰好猜对
3 个成语”和“猜对
4 个成语”．
设“至少猜对
3 个成语”为事件
A；
“恰好猜对 3 个成语”和“猜对
4 个成语”分别为事件
B,C ，
则
1
3
3
2
1
1
3
1
2
2
5
C24433 12；
P(B)C24433
3
3
2
2
1
．
P(C )
4
3
3
4
4
所以 P( A)
P( B)
P(C)
5
1
2
．
12
4
3
( Ⅱ )
“星队”两轮得分之和
X 的所有可能取值为
0,1,2,3,4,6
于是 P(X
0)
1
1
1
1
1
；
4
3
4
3
144
P(X 1) C211 2 1 1
5；
4
3
4
3
4
3
4
3
144
72
P(X 2)
1 1
2
2 3311
C211 3 2125；
4
4
3
3
4
4
3
3
4
4
3
3
144
P(X3) C213 2 1 1 12
1；
4
3
4
3
144
12
P(X 4) C21 3
2
(12 31)
60
5；
4
3
4
3
4
3
144
12
P( X
6)
3
2
3
2
36
1
；
4
3
4
3
144
4
的分布列为：
X
0
1
2
3
4
6
1
5
25
1
5
1
P
72
144
12
12
4
144
1
5
25
1
5
4
1
552
23
X 的数学期望 EX
0
1
2
3
6
144
．
144
72
144
12
12
4
6
3、（ 2016 年四川高考）我国是世界上 重缺水的国家，某市政府 了鼓励居民 用水，
划 整居民生活用水收 方案， 确定一个合理的月用水量 准 x （吨）、一位居民的月用水
量不超 x 的部分按平价收 ， 超出 x 的部分按 价收 . 了了解居民用水情况， 通 抽 ，
得了某年 100 位居民每人的月均用水量（ 位：吨），将数据按照 [0,0.5) ， [0.5,1) ，?，
[4,4.5) 分成 9 ，制成了如 所示的 率分布直方 .
（ I ）求直方 中
a 的；
（ II
） 市有
30 万居民，估 全市居民中月均用水量不低于
3 吨的人数，并 明理由；
（ III
）若 市政府希望使
85%的居民每月的用水量不超 准
x （吨），估
x 的 ，并
明理由 .
【解析】（ I ）由概率 相关知 ，各 率之和的
1
∵ 率 =( 率 / 距 )* 距
∴ 0.5
0.08
0.16
0.4
0.52
0.12
0.08
0.04
2a
1
得 a 0.3
II ）由 ，不低于 3吨人数所占百分比 0.5 0.12 0.08 0.04 =12%
∴全市月均用水量不低于 3吨的人数 ： 30 12%=3.6 ( 万 )
（ III
）由 可知，月均用水量小于
2.5 吨的居民人数所占百分比 ：
0.5
0.08
0.16
0.3
0.4
0.52
0.73
即 73% 的居民月均用水量小于
2.5 吨,
同理， 88%的居民月均用水量小于
3吨，故 2.5 x
3
假 月均用水量平均分布，
x
85%
73%
0.5
2.5 0.5
0.3
2.9 （吨） .
注：本次估 默 是平均分布，与 可能会 生一定 差。
4、（ 2016 年天津高考）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为
1,2,3 的人数分别为
3,3,4,. 现从这 10
人中随机选出 2
人作为该组代表参加座谈会 .
（ I ）设 A为事件“选出的
2 人参加义工活动次数之和为
4”，求事件 A 发生的概率；
（ II ）设 X 为选出的
2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量
X 的分布列和
数学期望 .
【解析】（Ⅰ）设事件
A ：选 2 人参加义工活动，次数之和为
4
P A
C13C41
C32
1
C102
3
（Ⅱ）随机变量
X 可能取值 0， 1， 2
P X
0
C
32
C32
C42
4
C102
15
P X
1
C13C31
C13C14
7
C102
15
P X
2
C31C14
4
C102
15
X
0
1
2
P
4
7
4
15
15
15
E X
7
8
1
15
15
5、（ 2016 年全国
I 高考）某公司计划购买
2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰
. 机器有
一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元 . 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这
100 台机器更换的易损零件数的频率代替
1 台机器更换的易损零件数发生的概
率，记 X
表示
2 台机器三年内共需更换的易损零件数，
n 表示购买
2 台机器的同时购买
的易损零件数 .
（I ）求 X 的分布列；
（II ）若要求 P(X
n)
0.5 ，确定 n 的最小值；
（III
）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，
在 n
19 与 n
20 之中选其一，
应选用哪个？
解：⑴ 每台机器更换的易损零件数为
8， 9，10， 11
记事件 Ai
为第一台机器
3 年内换掉 i
7 个零件 i
1,2,3,4
记事件 Bi
为第二台机器
3 年内换掉 i
7 个零件 i
1,2,3,4
由题知 P A1
P A3
P A4
P B1
P B3
P B4
0.2， P A2
P B2
0.4
设 2
台机器共需更换的易损零件数的随机变量为
X ，则 X 的可能的取值为 16， 17，
18， 19，20， 21，22
P
X
16
P
A1
P B1
0.2
0.2 0.04
P X
17
P A1
P B2
PA2PB1
0.2
0.4
0.4 0.2
0.16
P
X
18
P A1
P
B3
PA2PB2
PA3PB1
0.2 0.2 0.2
0.2
0.4
0.4
0.24
P
X
19
P A1
P B4
PA2PB3
P A3
P B2
P A4
P B1
0.2
0.2
0.2
0.2 0.4 0.2
0.2
0.4
0.24
P
X
20 P
A2
P B4
PA3PB3
PA4P
B2
0.4
0.2 0.2 0.4
0.2
0.2
0.2
P x
21
P A3
P B4
PA4PB3
0.2
0.2
0.2
0.2
0.08
P x
22
P
A4
P B4
0.2 0.2 0.04
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
⑵ 要令 P x≤ n ≥ 0.5，
0.04
0.16 0.24 0.5 ，
0.04
0.16
0.24
0.24 ≥ 0.5
则 n 的最小值为 19
购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用
当 n
19
时，费用的期望为
19
200
500
0.2
1000
0.08 1500 0.04 4040
当 n
20
时，费用的期望为
20
200
500
0.08
1000
0.04 4080
所以应选用 n 19
6、（ 2016 年全国 II 高考）某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保人
称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
0.85 a
a
1.25 a
1.5 a
1.75 a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件
A ，
P( A)
1
P( A)
1
(0.30 0.15)
0.55 ．
⑵设续保人保费比基本保费高出
60% 为事件 B ，
P( AB)
0.10
0.05
3
．
P(B A)
P( A)
0.55
11
⑶解：设本年度所交保费为随机变量
X ．
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
平均保费
EX
0.85
0.30
0.15a
1.25a
0.20
1.5a
0.20
1.75a
0.10
2a
0.05
0.255a
0.15a
0.25a
0.3a
0.175a
0.1a
1.23a ，
∴平均保费与基本保费比值为
1.23．
7、（ 2016 年全国 III 高考）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿
吨）的折线图
（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；
（II ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01 ），预测 2016 年我国生活垃圾无害化
处理量。
7
7
7
参考数据：
yi 9.32 ，
ti yi 40.17 ，
( yi y)2
0.55， 7≈ 2.646.
i 1
i
1
i 1
n
参考公式：相关系数 r
(ti
t )( yi y)
i 1
，
n
n
(ti t )2 (y i y) 2
i 1 i 1
回归方程 y a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
n
(ti
t )( yi y)
b
i 1
，
n
a=y bt .
i 1
(ti t )2
【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件
A ，
P(A) 1
P( A)
1 (0.30 0.15)
0.55 ．
⑵设续保人保费比基本保费高出
60% 为事件 B ，
P(B A)
P( AB)
0.10 0.05
3 ．
P( A)
0.55
11
⑶解：设本年度所交保费为随机变量
X ．
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
平均保费
EX 0.85 0.30 0.15a 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 0.255a 0.15a 0.25a 0.3a 0.175a 0.1a 1.23a ，
∴平均保费与基本保费比值为 1.23．
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