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题 幂函数的图像与性质 教学内容
1. 了解幂函数的概念； 2. 掌握常见幂函数的图像与性质。
观察下列函数，它们的关系式有什么共同特点？ （1）
y x ；（2）2y x ；（3）3y x ；（4）12y x ；（5）1y x .
幂函数的定义：一般地，形如ky x 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，k 是常数，且 k Q ； 判断：下列各式中表示幂函数的有（
）
A、123 y x
B、xy x
C、23y x
D、 2 x y
E、7 4y x
F、0.5y x
G、2y x
思考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？我们上一章讲了函数的哪些基本性质？
例 1. 研究函数12y x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出函数的图像
试一试：仿照例 1 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？
（1）
y ＝ x－ 1 ；
（2）
y ＝ x － 2 ；
（3）
y ＝14x－．
小结：研究函数图像的基本步骤（方法）
1、由定义域、值域判断函数在坐标系中的位置。
2、由单调性判断图像的变化趋势。
3、由奇偶性判断函数图像是否对称。
例 2. 指出23y x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的图像。
仿照例 2 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？
（1）
y ＝21x ；（2）
y ＝31x ；（3）
y ＝25x ；
例 3.
指出函数73y x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的大致图像。
试一试：仿照例 3 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？ （1）3y x
（2）43y x
（3）54y x
幂函数总结：
例 4. 已知幂函数221m myx 在区间 ,0 上是减函数，求 m 的最大负整数值.
试一试：已知幂函数 21 32 2p pZ f x x p 在 0, 上是增函数，且在定义域上是偶函数，求 p 的值，并写出相应的函数．
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
比较大小：
1. 已知函数（1）
2 x y ；（2）14y x ；（3）1yx ；（4）43y x ，写出分别具下列性质的函数 ①图像与 x 轴有交点的：
；②图像关于原点对称的：
； ③定义域内单调递减的：
；④在定义域内有反函数的：
.
2. 幂函数 22 3 * m my x m N 的图像与坐标轴无公共点且是偶函数，则 m 的是
．
3. 比较下列各组中两个数的大小：
（1）535 . 1 ，537 . 1 ；（2）0.7 1.5 ，0.6 1.5 ；（3）32) 2 . 1 (－－ ，32) 25 . 1 (－－ ．
4. 已知 22 k kx k Z f x 满足 2 3 f f ． （1）求 k 的值； （2）是否存在正数 m ，使 1 2 1 , 1,2 g x mf x m x x 的值域为174,8 ？为若存在，求出 m的范围；若不存在，说明理由.
提高练习：
1、 作函数 ) 1 ( ,11) 1 ( ,211) (**x ** f 的图像，并根据函数图像讨论方程 a x f ) ( ， ) ( R a 的实根个数。
2、 讨论函数3 31 ) ( , 1 ) ( x x h x x g 的图像与幂函数3) ( x x f 的图像的关系，并在同一直角坐标系中分别作出函数 ) ( ), ( ), ( x h x g x f 的图像。
3、 讨论函数**y1 2 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出此函数的大致图像。
本节课主要知识点：幂函数的概念，幂函数的图像和性质
【巩固练习】
1. 下列函数中不是幂函数的是（
）
A． y x
B．3y x
C． 2 y x
D．1y x
2. 已知幂函数22 3( ) ( )m mf x x m Z 为偶函数，且在 (0, ) 上是减函数，求 ( ) f x 的解析式.
【预习思考】
问题 1：某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,……一个这样的细胞分裂
x 次后,得到的细胞分裂的个数
y 与
x 之间,构成一个函数关系,能写出
x 与
y 之间的函数关系式吗？ 问题 2：一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的 84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为 1,时间变量用 x 表示,剩留量用 y 表示。
