计算机与计算数学的发展以及它们在工程及科学技术问题中的广泛应用,使得数值分析(计算方法)课程对高等院校理工科学生来说越来越重要。数值分析是一门基础课,它象通常的数学课程一样有自身严密的科学体系,但它又是一门应用性很强的课程,目的是使学生能够用本课程的理论在计算机上实现有关的科学与工程计算,计算能力的培养对工科各专业的学生都是十分重要的,数值分析课程的实践环节正是为了适应这种需要而设置的,使得学生在学习各种算法时,能在实践环节中深刻体会算法的内涵、物理背景和实际意义,同时也能提高学生学习该课程的兴趣,而更重要的是能提高学生综合运用知识的能力和培养学生利用计算机解决实际问题的能力。目前,大部分学生数学思维和数学应用意识弱,编写程序能力及计算机程序调试能力差。长此以往,必将学而无用,适应不了社会发展的需要。如何培养学生的数学应用意识,针对数值方法谈谈我的学习和教学体会。
一、认清数学知识的实用性
数学知识的应用是广泛的,大至宏观的天体运动,小至微观的质子、中子的研究,都离不开数学知识。数学应用到各个科学领域:人口模型、生物种群生态模型、传染病模型等等,甚至某些学科的生命力也取决于对数学知识的应用程度。马克思曾指出:“一门科学只有成功地应用了数学时,才算真正达到了完善的地步。”生活中充满着数学,数学教师要善于从学生的生活中抽象出数学问题,使学生感到数学就在自己身边,从而产生兴趣。比如,讲完“旋转体”之后,可以让学生分析一下铁饼和梭子分别使用椭圆绕哪一轴旋转而得到的,如何求出它们的体积。在讲“古典概率”时,老师可以准备一些不同颜色的球,上课时让学生自己从袋子摸取,看摸球的概率是多少。2009年中国建国六十年大庆天安门广场各个方队及游行队伍的安排就是数学的优化问题,我们的生活离不开数学,我们的科学技术的发展离不开数学。
二、数值算法是解决数学问题有效的方法
数值分析课程针对数学分析、高等代数以及微分方程课程中所涉及常见的诸如线性方程组的求解问题、函数逼近问题、微积分问题及特征值问题等几大类问题给出了行之有效的多种解题方案及解题步骤,将数学问题的求解与计算机的应用有机地结合,使得许多难解的数学问题和大型的实际应用问题得以解决。
数值分析中的数值算法就是将要求解的数学模型简化成一系列算术运算和逻辑运算,在计算机上求出问题的数值解,并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析。数值算法不只是单纯的数学公式,而且是指由基本运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案。但一定注意算法适用条件和优缺点,因此在课程讲解时,一定让学生理解数值算法的推理过程,清楚推理过程中每一步可能对结果产生的影响。例如:由《泛函分析》可知多项式空间在区间[a,b]上连续函数中空间稠密,若函数F(x)在区间[a,b]上连续,但它的解析表达式非常复杂,应用起来比较困难,我们可以在给定度量方式的前提下用多项式去逼近F(x),在平方度量方式时,最佳平方逼近多项式P(x)求解问题归结为法方程组求解问题,而方程组解的精确度受系数矩阵条件数的影响,故基底函数多项式的选择将影响结果的可靠性。在研究算法的同时,还必须正确掌握误差的作用。否则,一个合理的算法也可能得出一个错误的结果。为了防止误差传播和积累带来的危害,以提高数值计算的稳定性,在数值计算中应注意以下几点:选用稳定性好的计算公式;简化计算步骤和公式,设法减少运算次数;合理安排运算顺序,避免大数“淹没”小数,多个数相加时,其绝对值小者先加,多个数相乘时,其有效位数多者先乘;避免两相近数相减;避免绝对值太小的数作为除数。另外,许多软件提供了数值算法可直接应用命令,如Matlab软件提供了很多数值算法直接可用的命令,课堂教学时应向学生指明相关命令的使用范围,例如:求解线性方程组Ax=b时,Matlab命令x=A\b适用于非病态线性方程组,否则运算结果失去可靠性,不可用此命令。此时,应建议或指导学生应用所学知识以及查阅相关文献进行方法的改进。
三、要非常重视实验课
实践对于知识的理解、掌握和熟练运用起着重要作用。听到的终会忘掉、看到的才能记住,亲身体验过的才会理解和运用。因此,要加强学生的编程以及上机程序调试活动,培养学生算法实际应用能力。指导学生对自己所编程序找出适用范围,如:在进行Gauss列主消元实验时,可以给出两个线性方程组,一个方程组的系数矩阵是非病态,另一个方程组的系数矩阵是高阶Hillert矩阵。在学生对运行结果的分析中就可以对自己所编程序有更深一步的了解。这样做,学生既加深了对算法的理解,又学会了解决实际问题的方法,同时,增强了学生对数值分析这门课的兴趣,提高了学生学好数值分析这门课的信心。经常让学生去实践,运用所学知识解决实际问题,学生应用数学的意识就会逐渐形成。这也是课堂教学转变教育观念,实施素质教育的有效途径。
四、开展数学知识应用竞赛
数学知识应用竞赛实质是由“知识型人才”向“智能型人才”过渡的教育策略。课程设计就是一个方法,通过课程设计可以使学生对数值分析课程的数值算法有了更深刻的理解,对数值分析课程的重要性有更深的认识,培养学生数学思维和动手能力。教师应该根据学生层次不同、基础不同、各学校条件不同组织开展不同数学知识、数学模型竞赛。参加各种大学生数学建模竞赛是锻炼和培养数学思维、数学能力、计算机应用的好办法。
总之,数值分析课程是理论和实践的结合,要把数值分析这门课学好教好,必需对每种数值算法进行深刻的理论理解,同时还要让学生参加实践活动,在实践中培养学生的数学思维、数学应用意识、数值分析应用能力。
