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（在此卷上答题无效）
秘密★启用前
中 漳州三中 2021 届高三第五次月考数学科试卷 （ （2021.2.18 开学考试）
（考试时间：120 分钟；满分：150 分）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、 选择题 ：
本题共 8 小题，每小题 5 分，共 共 40 分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一 项是符合题目要求的 。）
1．已知 M＝{x|y＝x 2 +1}，N＝{y|y＝x 2 +1}，则 M∩（∁ R N）＝（
）
A．∅ B．M C．（﹣∞，1）
D．R 2．设有两个命题 p：不等式 aee** 14的解集为 R；q：函数xa x f ) 3 7 ( ) ( 在 R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数 a 的取值范围是（
）
A．1≤a＜2 B．2＜a≤37 C．2≤a＜37 D．1＜a≤2 3．设双曲线 12222 byax（a，b＞0）的两条渐近线的倾斜角分别为 α，β，若 β＝2α，则该双曲线的离心率为（
）
A．33 2 B． 2
C． 3
D．2 4．O 为坐标原点，角 θ 的终边经过点 P（3，m）（m＜0）且 m1010sin ，则 OP 的单位向量为（
）
A．（1，﹣1）
B． )1010,1010 3(
C． )1010,1010 3(
D． )1010,1010 3(
5．5) )( 2 ( y x y x 的展开式中 x 3 y 3 的系数为（
）
A．10 B．20 C．30 D．40 6. 已知在△ABC 中，AB＝BC＝3，AC＝4，设 O 是△ABC 的内心，若 AC n AB m AO ，则 m：n＝（
）
A．5：3 B．4：3 C．2：3 D．3：4 7．已知 z 均为复数，则下列命题不正确的是（
）
A．若 z＝ z ，则 z 为实数
B．若 z 2 ＜0，则 z 为纯虚数
C．若|z+1|＝|z﹣1|，则 z 为纯虚数
D．若 z 3 ＝1，则 z ＝z 2
8．若函数 f（x）＝e x ﹣e﹣ x +sinx﹣x，则满足 f（a﹣2ln（|x|+1））+)2(2xf ≥0 恒成立的实数 a 的取值范围为（
）
A． ,212 ln 2
B． ,412 ln
C． ,47
D． ,23 二、 选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．）
9．如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中,以下命题正确的是（
）
A．AF 与 BM 成 60°角． B．AF 与 CE 是异面直线． C．BN⊥DE． D．平面 ACN∥平面 BEM． 10．已知等腰直角三角形 ABC 的直角顶点为 C（3，3），点 A 的坐标为（0，4），则点 B 的坐标为（
）
A．（2，0）
B．（6，4）
C．（4，6）
D．（0，2）
11．已知函数 f（x）＝sin（3x﹣φ）， )2 2( 的图象关于直线 x＝4对称，则（
）
A．函数 y＝f（x）的图象向左平移12个单位长度得到的图象关于原点对称
B．函数 y＝f（x）在[0，4]上单调递增
C．函数 y＝f（x）在[0，2π]有且仅有 3 个极大值点
D．若|f（x 1 ）﹣f（x 2 ）|＝2，则|x 1 ﹣x 2 |的最小值为32 12．设函数 , 2 2 ) (2 cos 2 cos x ** f 则（
）
A．f（x）在 )2, 0 (单调递增
B．f（x）的值域为 23,23 C．f（x）的一个周期为 π
D． )4( x f 的图象关于点 ) 0 ,4( 对称
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
三 、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 ), 1 , 2 ( a ), 1 , 1 ( b 若 , ) ( b b a 则实数
．
14．已知侧棱长为 3 的正四棱锥 ABCD S 的所有顶点都在球 O 的球面上，当该棱锥体积最大时，底面 ABCD 的边长为
，此时球 O 的表面积为
． 15．已知椭圆 1222 ymx（m＞1）的焦点为 F 1 ，F 2 ，若在长轴2 1 AA 上任取一点 M，过点 M 作垂直于2 1 AA 的直线交
椭圆于点 P，若使得 02 1 PF PF 的点 M 的概率为36，则 m 的值为
． 16．2020 是苏颂诞辰 1000 周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟，水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约 3.4 米的水轮，它转一圈需要 30 分钟，如图，当点已知 P 从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方 1.19 米处，此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟 0.017 米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点 P 至少经过
分钟(结果取整数)进入水中。
(参考数据：
81 . 05cos , 91 . 0152cos , 98 . 015cos )
四、 解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）已知各项均为正数的数列{a n }满足 a n+2 +22 n n aa ＝4a n+1 ﹣a n （n∈N * ），且 a 1 ＝1，a 2 ＝4． （1）证明：数列{na }是等差数列； （2）数列{12 4n n aan}的前项 n 和为 S n ，求证：S n ＜2．
18．（12 分）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2，CD＝5，∠ABC＝32 ． （1）若 AC＝ 7 2 ，求梯形 ABCD 的面积； （2）若 AC⊥BD，求 tan∠ABD．
19．（12 分）某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共 5000 人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得 3 分，答错得 0 分，后两题考生每答对一道题得 5 分，答错得 0 分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩． （1）通过分析可以认为考生初试成绩 X 服从正态分布 ) , (2 N ，其中 ＝64，2 ＝169，试估计初试成绩不低于
90 分的人数； （2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为43，后两题答对的概率均为32，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为 Y，求 Y 的分布列及数学期望． 附：随机变量 X 服从正态分布 ) , (2 N ，P（ X ）＝0.6826， P（ 2 2 X ）＝0.9544，P（ 3 3 X ）＝0.9974．
20．（12 分）
如图，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，PA＝AD＝2，M、N 分别是 A B．PC 的中点． （1）求证：平面 MND⊥平面 PCD； （2）求点 P 到平面 MND 的距离．
21．（12 分）
过抛物线外一点 M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点 M 对应的切点弦．已知抛物线为 x 2 ＝4y，点 P，Q 在直线 l：y＝﹣1 上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为 AB，CD． （1）当点 P 在 l 上移动时，直线 AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由． （2）当 AB⊥CD 时，求线段 PQ 长度的最小值，及此时点 P，Q 的坐标．
22．（12 分）
已知函数 x a a e e x fx x 2) ( ) ( ．
（1）讨论 ) (x f 的单调性； （2）若 0 ) ( x f ，求 a 的取值范围．
